Einleitend sollte der didaktische Problemgrund, gegebenenfalls eine methodische Grundsatzentscheidung und die daran geknüpfte Fragestellung angegeben werden.
Bevor die Unterrichtsthematik didaktisch analysiert und die Unterrichtsmethodik konstruiert wird, sollten die unterrichtsrelevanten mathematik-fachlichen Sachverhalte bestimmt werden, um das fachliche Fundament deutlich zu machen, auf dem die konkret-didaktischen Betrachtungen zu den themaspezifischen Lernvoraussetzungen und didaktischen Modellierungen angestellt werden. Die Sachverhaltsdarstellung sollte über eine mediumsbezogene Analyse und über das in Unterrichtsanleitungen (Lehrerhandreichungen zu Lernmitteln) Vorgefundene hinausgehen. Es gilt, die mathematischen Grundlagen des Unterrichtsthemas gründlich zu erschließen, in prägnanter Strukturierung darzustellen und präzise auszudrücken.
Der didaktisch hier relevante kardinale Aspekt
bezieht sich auf
Mengenmächtigkeiten und durch Mengenzerlegungen,
-zusammensetzungen, -beziehungen
und -bündelungen grundgelegte Zahlbeziehungen
und Klassenbildungen höherer Ordnung
(Einheiten). Der
ordinale Aspekt liefert die
Beziehungen zwischen den Elementen
(Zahlen als Nummern) in einer Zahlenreihe. Beide Aspekte schließen die Fragen der
Notation noch überhaupt nicht ein. Daher
muss die Untersuchung der "Struktur
des Tausenderraums" durch eine explizite
zeichensystembezogene Betrachtung
ergänzt werden.
Die thematisch
zentralen Beziehungen zwischen
den Begriffen Menge,
Zahl und
Zahldarstellung, zwischen
zahlbereichsstrukturellen und
zahldarstellungssystematischen Sachverhalten
sowie zwischen mathematischer Struktur
und dessen homomorpher konkretisierender
Modellierung sind systematisch deutlich zu machen.
Unbedingt sollte die fachlich falsche und didaktisch gefahrenträchtige
Verwechslung von
Zahl,
Zahlwort (Zahlbezeichnung, Zahldarstellung)
und
Ziffer vermieden werden.
Stufenzahlen (1, 10, 100, 1000, ...)
sind als Zehnerpotenzen von den
Einheiten in der Menge der (natürlichen) Zahlen (1 Einer, 1 Zehner,
1 Hunderter,
1 Tausender, ...) zu unterscheiden.
Auch in der Unterrichtssprache darf nicht verständniswidrig ungenau mit den
Begriffen "Einer", "Zehner", "Hunderter" usw. umgegangen werden. Sie sind
abstrakte, die Menge der (natürlichen) Zahlen
strukturierende Einheiten. Ihr System
findet sich in der dekadischen Zahlenkodierung als eines der systembildenden
Konstitutiva wieder,
nämlich darin, dass den Stellen eines mit Ziffern geschriebenen Zahlworts ein
bestimmter Wert (der Stellenwert) zugeordnet ist. Dass das (höchstgradig abstrakte)
Stellenwertsystem
didaktisch auf das in Handlungen erkennbare und anwendbare
Bündelungssystem gegründet ist, bedeutet nicht, dass es für den Erkenntnisprozess
irrelevant ist, ob Dingmengen-Bündel bestimmter
Einheitsmächtigkeit vorschnell als "Zehner" oder "Hunderter" oder korrekt als "Zehnerbündel" bzw. "Hunderterbündel" bezeichnet werden.
Die Bezeichnungen für Mengen
("Hunderterfeld"),
Mengenmächtigkeiten ("[ein]hundert", "100") und
Stückgrößen ("[ein]hundert Punkte", "100 Punkte"),
für Mächtigkeitseinheiten ("Hunderter") und
Einheitsmächtigkeiten ("[ein]hundert", "100", "ein Hunderter", "1 Hunderter") synonym zu verwenden wäre fachlich falsch und
didaktisch
bedenklich. Die wechselseitige Beziehung zwischen den
trennscharf zu unterscheidenden Begriffen
Menge,
Mengenmächtigkeit (Anzahl),
Stückgröße und
Bündelungseinheit gehört zum
mathematikdidaktischen Zentrum des kardinalen
Aspekts der "Tausenderraum-Struktur".
Die didaktische Ausarbeitung darf die für die Herausarbeitung dieses Kerns
notwendige begriffliche Tiefe und Klarheit nicht vermissen lassen.
Entsprechendes gilt auch für die Erschließung des ordinalen Aspekts der "Tausenderraum-Struktur" und des Zahldarstellungssystems. Von zehn aufeinanderfolgenden
Zahlwörtern
als "10 Einern" zu sprechen wäre ebenso abwegig wie die in einem Zahlwort
betrachtete Anzahl
der Hunderter als "den Hunderter" oder ein Vielfaches
von 100 als "einen(!) Hunderter" zu bezeichnen.
Differenzierte Unterrichtsziele anzugeben ist nur in dem Maße möglich, in dem ihr fachlicher und fachdidaktischer Bezugsrahmen umfassend, spezifiert und begriffsgenau ausgeleuchtet worden ist.
Zur Unterrichtsmethode: Die Formen, Verlaufsgestalten und mediale Stützung der Erarbeitungsgespräche müssen gründlich vorbedacht werden: Wie kann gewährleistet werden, dass die Entdeckungen der einzelnen Schüler zum Lerninhalt für die anderen werden? Wie ist im Anschluss an eine freiere Entdeckungsphase eine strukturierende Erarbeitung und dann eine sichernde Durcharbeitung zu gestalten?